張益唐在普渡大學的日子（1985年1月 - 1991年）
（2013年8月）（2018年以粗體修訂）
T.T. Moh (莫宗堅)
張益唐博士在孿生素數猜想上取得了重大進展，這一成果已得到著名數論學家H. Iwaniec教授的驗證論文。這是一個歷史性的結果。我祝賀張益唐博士。
質數的概念始於希臘數學論文。歐幾里得證明了存在無窮多個質數。我們可以把整數看作是建在實數軸整數點上的房子，並在每個質數房子裡放一盞燈。那麼就會有無數盞燈被點亮（歐幾里得定理）。所有這些亮著的房子之間有什麼關係？最自然的猜想是質數隨機出現。有一個令人驚訝的猜想（孿生素數猜想）指出，存在無窮多對 (p, p+2) 的房子同時亮著。我們在歐幾里得的著作中找不到任何痕跡。無論如何，這個猜想可能有上千年的歷史了。如果孿生素數猜想是正確的，那麼我們可以得出結論：整數的構造並非隨機的。這多麼奇怪啊。張博士證明的是，存在一個小於等於70,000,000的n，使得p和p+n同時作為質數被點亮。
有些人好奇張益唐在普渡大學讀研究生時的生活論文。作為張博士的論文導師，我將分享我對他的回憶。
1. 從中國到美國
1984年，著名數學家陳省身教授邀請項武義教授、加州大學伯克利的伍鴻熙教授、哈佛的蕭蔭堂教授、哥倫比亞的J. Morgan教授和我，去中國北京為來自全國各地的頂尖研究生舉辦一個特別的暑期學校論文。對於陳省身教授的邀請，我感到非常榮幸，併為陳教授的得意專案工作了一整個夏天，期間遇到了幾位重要的年輕未來數學家，如張壽武博士、張益唐博士、陳敏博士等。
當然，我們試圖將這些有才華的研究生帶到美國論文。美國以外的人對他們的素質一無所知。那時，我是數學系研究生委員會的成員。我用我的信譽說服同事們錄取了其中10名學生進入普渡大學。當他們出現並在資格考試中表現出色後，所有的疑慮都消散了。他們出現後，我把他們推薦給了普渡大學的各位教授，最後只剩下一位名叫張益唐的學生。
根據丁石孫教授（一位代數學家，北京大學校長）和鄧東皋教授（北京大學數學系主任）的推薦信，張先生於1985年1月被普渡大學錄取為研究生論文。丁石孫教授特別要求我照顧張先生。他到達後，我們進行了一次親切的談話。張益唐表達了他在代數幾何領域工作的願望。我點了點頭，同時想起了法國數學家讓·迪厄多內在普渡大學國際會議上（為慶祝路易·德·布朗熱關於比伯巴赫猜想的成果而舉行）的發言。迪厄多內對幾百位分析學家說：“你們應該投身代數幾何領域——那是數學的未來。”張益唐還提到他想在我的指導下學習。（知道在這裡插入這句話是不合適的。事實是，我本人並不瞭解張益唐，我是在張益唐到達一年後，當我看到訪問我一學期的北京大學趙春來教授時才知道的，趙教授和張益唐互相打招呼。我對趙教授說張先生是我的學生，並隨口提到張益唐是丁教授（一位代數學家）的學生。令我驚訝的是，趙教授說：“張益唐不是丁教授的學生，張益唐是潘教授的數論方向的學生。”我有時會想，為什麼張益唐對我隱瞞了這個事實？趙春來教授可以為此事作證。）得知他有一篇已發表的論文，並且在潘教授指導下接受過解析數論領域的訓練（特別是加法分支，其核心問題是哥德巴赫猜想），我很高興能有一位有才華的學生。張益唐的下一個請求讓我很驚訝，他希望將雅可比猜想作為他的論文題目。我覺得選擇如此困難的任務很奇怪。但看到他的熱情後，我同意了，並盡力指導他。
我認為張益唐是一個有抱負、聰明且勤奮的年輕人論文。
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2. 在普渡大學的教育
在我們確定了他的論文題目後，我們幾乎整個學期每天都見面論文。我們的討論集中在我發表的一篇論文上：
《論雅可比猜想與根的配置》，發表於《純粹與應用數學雜誌》，340卷，1983年，第140-212頁論文。
有時，討論會持續到天亮論文。那是張益唐在普渡大學第一個學期的關鍵部分。在整個過程中，當沒有其他人在我辦公室時，張先生都會向我提起，他將把他對雅可比猜想的解法與我合作。我總是告訴他，我從不與學生合作發表博士論文，這對任何人來說都是顯而易見的，看看我博士生的記錄就知道了。我從未與我的學生髮表過任何合著作品。所有討論都屬於我的學生。當然，我理解為什麼有些導師會與學生合作，因為有時導師不得不為學生撰寫博士論文。另一方面，學生在合作中可能會受到不公平的對待。以上是我個人的理念。每隔幾個月，我們的對話就會重複一次。直到有一天，他錯誤地聲稱解決了這個猜想。
解決猜想在數學界是有爭議的論文。我相信數學包含科學部分和邏輯部分。猜想屬於科學部分，而猜想的證明屬於邏輯部分。例如，在科學中，牛頓的萬有引力定律無法被邏輯證明，只要沒有重要的反例，它就成立。科學規律是核心部分。
在一封我傳真給Emilio R. Lluis教授的信中（點選此處檢視副本），在他聽說我與S.S. Abhyankar教授共同宣稱證明了嵌入線定理（這是Segre的一個開放猜想）後，他寫信給我，聲稱擁有解決這個開放問題的優先權論文。我指出他的證明也是錯誤的，並陳述道：“我們感謝第一個指出Segre文章中錯誤的人，你知道那個人就是你（即Lluis教授）。”
我相信，提出數學猜想的人是最重要的，然後是一些人保持對這些陳述的研究熱度，第三類人是那些解決猜想的人論文。
一般來說，科學理論是無法被證明的，就像牛頓的萬有引力定律一樣，即使它被光線因引力彎曲的現象以及水星軌道與牛頓定律預測不符所反駁，牛頓定律在其範圍內仍被認為是正確的並被珍視論文。對於邏輯證明，人們認為人工智慧在不久的將來可以處理所有邏輯問題，因此解決猜想的邏輯問題在未來可能不那麼有趣了。
在接下來的兩個學期裡，我組織了一個由五名研究生（包括張益唐）組成的研討會，研究廣中平祐教授關於奇點解消理論的里程碑式論文論文。我相信，在我們完成兩個學期的研討後，全世界研究過這些論文的人數翻了一番。格羅滕迪克教授曾將這些論文描述為人類歷史上最複雜的論文之一。
在完成了三個學期的強化工作後，我覺得我可能做錯了事（我表現得像一個現代的“虎媽”）；我應該給他成長的空間論文。於是我退後一步，不再施加任何壓力。他會每週來找我談一次話，我會仔細傾聽。
我告訴他我的數學哲學論文。我認為只有好的數學和壞的數學之分。要想在好的數學中找到原創性的證明，必須進行計算實驗，然後你需要洞察力。完全相信過去的區域性結果是不明智的。例如，如果你想研究物理學的統一場論，並完全相信愛因斯坦關於統一場的論文，那你就是個傻瓜。你必須關注新的證據。例如，我在雅可比猜想上的工作是美麗的，但將其推廣到一對次數小於等於1000的情況需要處理更多例外情況，因此它本身是行不通的。我們需要更多的實驗和洞察力。我希望你從那篇論文中學到的是計算的方法和進行實驗的方法。
張益唐把所有空閒時間都用來思考數學論文。幾年後，張益唐開始相信他可能找到了一個獨立於我論文的、解決雅可比猜想的方法。他告訴很多人他解決了雅可比猜想，卻沒有告訴我一個字。有一天，化學系的一位資深教授葉教授告訴我，數學系有個叫張的學生解決了一個大問題。我叫張益唐到我辦公室詢問此事。張益唐告訴我，他沒有我的幫助就解決了雅可比猜想。他的意思是，他不會與我合作這項工作。我讓他把證明給我看。他告訴了我他的解法。我讀過幾十個錯誤的證明，他的證明既奇怪又低階。它與我教給他的東西毫無關係。我指出了錯誤，並告訴他他的證明是錯誤的。從那以後，他再也沒有提過希望將他關於雅可比猜想的結果與我合作。顯然，他的話是假的。他的工作表明他徹底失敗了。他的才能應該在別處。這與他對Wilkinson先生所說的話相符（《紐約客》，2015年2月2日）：張教授堅持要他改學他自己的領域——代數幾何，“我學了，但我真的不喜歡……他認為代數幾何比數論更重要。他強迫我。他是大學校長，所以他有這個權威。”（點選此處檢視原文）。這裡的“他”指的是德高望重的丁石孫教授。我認識丁教授（點選此處檢視我寫的關於丁教授的中文文章），在我看來，丁教授不可能強迫張益唐學習代數幾何。另一方面，1985年，許多中國學生爭相出國留學，其中一些人有能力做出奇怪的事情。可能發生的情況是，張益唐假裝對代數幾何感興趣，欺騙了丁教授為他寫推薦信。後來，張益唐否認丁教授是他的老師。在過去的33年裡，張益唐從未發表過任何關於代數幾何的論文。通常，新博士中排名前10%的人的生產力是完成一篇博士論文，並在十年內再發表第二篇論文。張益唐在代數幾何方面沒有發表任何論文。張益唐浪費了自己7年的生命、我的時間，以及一位年輕的中國代數幾何學家的機會。
多年後，一位年輕的數學家蘇育才寫了三篇文章試圖解決雅可比猜想，我審閱了其中的兩個版本論文。我覺得他是一個嚴肅的數學家。我擔心他會氣餒，甚至被一些人嘲笑，於是我在Arxiv上發表了我的其中一份審稿意見（點選此處檢視副本），其中部分內容寫道：
“雅可比猜想的問題非常困難論文。也許人類還需要100年才能解決它。你的嘗試是高貴的。也許奧林匹斯山的眾神有一天會對你微笑。不要太失望。”
然後我列舉了一些在雅可比猜想上犯過錯誤的著名數學家論文。
（多年後，張益唐開始相信他可能找到了一個解決方案，一個獨立於我論文的、解決雅可比猜想的方法論文。作為雅可比猜想宮殿的守門人，我盡了我的職責，檢查每一個提交給我的宣告，並拒絕任何人進入（即使該宣告與我的工作無關，尤其是張益唐的錯誤宣告與我先前的論文無關。後來在他的博士論文中，他大量引用我的論文，卻從未提及我的論文有任何問題。）如果張益唐的證明是無效的。“也許雅可比猜想是留給未來的問題”，我想。）
1991年，他在普渡大學的第七年（按照學校規定，這是張益唐在普渡的最後一年），我讓張益唐撰寫他的博士論文（點選此處檢視副本）《雅可比猜想與域擴張的次數》（任何人的論文都在公共領域論文。本論文存於普渡大學圖書館）。他將論文提交給答辯委員會，委員會由我（主席）、L. de Branges、J. Lipman和W. Heinzer組成。他的論文順利透過了答辯。所有委員會成員都同意。這是一篇合理的博士論文（評級為B），但顯然離菲爾茲獎的工作差之千里。順便說一下，“他試圖證明猜想所蘊含的某個結論，而不是證明猜想本身”（引自Wilkinson，《紐約客》，2015年2月2日）。他錯誤地聲稱在他的博士論文中，他解決了雅可比猜想，並應被授予“菲爾茲獎”。然而，在一次詳細檢查中發現，他使用了T.T. Moh的一個定理，而該定理是錯誤的，因此他的論文無法發表。他的說法是個謊言。任何謠言傳播都無法改變事實。任何人都可以從本文附上的他的論文中清楚地看到這一點。
3. 日常生活
有些人認為數學家是古怪的論文。我有不同的看法。我認識的所有數學家都很正常。在普渡大學的七年裡，張益唐是一個正常人。他曾被選為普渡大學中國學生俱樂部的主席，並且他盡職盡責，很好地服務了他的社羣。
張益唐有一些中國古典文學的功底論文。有時我們會談論這些。我向他提到了孔子的一句話：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者。”我認為這非常適合研究工作。他表示同意（只是表面上的。他一直想要出名）。陳省身教授說過：“我認為我們大多數人做的數學源於黎曼和龐加萊的工作。他們是數學中的菩薩”並且“無論我們多麼努力，最多隻能成為羅漢。也許我們都知道菩薩的名字，但沒人能說出羅漢誰是誰。我們不應該太在意個人的名聲。”（參見陳省身：《我的數學生涯中的一些事》（中文））
有時我會後悔沒有幫他找份工作論文。但是，誰能說這是不是一個好的決定呢？無論如何，他的普渡大學博士學位在他漫長的道路上幫助了他。也許他的命運就是忍受苦難，最終在數論領域變得偉大，而他在代數幾何領域顯然無所作為。我確實在70年代末為我第一個學生找到了一份工作。後來當我向同事們講述我的故事時，他們都笑了，並告訴我那只是在早已過去的60年代才正常。時代在70年代末發生了變化，出現了一個新的術語和趨勢。那就是“終身教職制度”，學生們應該自己找工作。所以在張益唐畢業後，我告訴了他找工作的常規方法。當我看著他的眼睛時，我發現了一個不安的靈魂，一團燃燒的荊棘，一個想要到達北極的探險家，一個決心攀登珠穆朗瑪峰的登山者，一個敢於冒著雷電到達目的地的旅行者。張益唐再也沒有回來找我寫推薦信。顯然，他沒有找工作。即使在張益唐宣佈他里程碑式的成果之日，我也不知道什麼對他最好。儘管我確信一件事——他無法在“終身教職制度”、“終身職位”和“晉升”中生存。那不是他的風格。我視他為自由的靈魂，我應該讓他飛翔。張益唐在告訴我他要去羅格斯大學與Iwaniec教授交談後飛走了。我祝你好運。那幾乎是22年前的事了。
我不時打聽張益唐的下落論文。一個學生告訴我，他幾天前在圖書館見過張益唐，但現在他已經走了。後來，張益唐的一位家人朋友寫信給系裡詢問張益唐關於他父親葬禮的事。他們自然問到了我。我把問題轉達給了當地的中國學生。幾天後，回信說他現在知道了葬禮，但不打算參加。由於成年人不透露地址是個人隱私，我打算敬而遠之，就此打住。上述事實可以從研究生委員會秘書寫給張家友人（原文存檔。秘書的回信包含了我提供的資訊。所有私人資訊如姓名和地址已被遮蓋）（點選此處檢視）的信件中看出。
4. 結語
有人質疑我那篇關於雅可比猜想的論文是否正確論文。我將說明該論文正確的原因。1984年，M. Miyanishi教授（大阪大學教務長）和S.S.S. Wang教授（奧克蘭大學）訪問普渡大學一個學期，目的是研究這篇關於雅可比猜想的論文。經過一個學期的研討會，他們確認了該論文。在我的論文發表大約10年後，另一位數學家發表了一篇論文，用完全不同的方法得到了與我相同的結果（R. Heitmann教授（參見J. Pure Appl. Alg. 64(1990) 35-72）證明了雅可比猜想的一個一般理論，類似於我的理論（他認為可能與我的相同），並將他的理論歸結為次數不超過100的多項式對，結果與我的理論完全相同，即只有4個例外度數對：(64,48)，(75,50)，(84,56)，(99,66)。我們的實驗表明，例外情況的數量趨向於無窮。我們所等待的要麼是一個沒有例外情況的理論，要麼是隻有有限個例外情況的理論。在當前情況下，解決幾個孤立的案例不會很有趣。）事實上，任何認為我的理論中存在錯誤的人，都歡迎發表論文指出來。人們不應忽視美國的終身教職制度。它可能不適合某些參與者，但它適用於大多數情況。
1985年對於來自中國大陸的學生來說是極其困難的，他們默默無聞且沒有學分論文。我是少數與他們有過個人接觸的教授之一，我之前那個暑假在北京大學教過書，對他們有生動的印象。教育的使命是將知識傳播到各地。這是崇高的美國精神。在大約十年的時間裡，我向系裡推薦了100名中國大陸學生，並且都被系裡接受了。我永遠感激系裡對我判斷的信任。他們中只有極少數行為不端，恩將仇報，沒有人意圖謀殺他們的父母/朋友，幾乎所有的人都表現良好並受人喜愛。我很高興我的推薦帶來了成果。此後，得益於普渡大學管理部門的善意，我的朋友林順發先生捐贈了一項基金，設立了以我名字命名的獎學金——T.T. Moh獎學金，我深感榮幸，用於資助來自中國大陸的學生。到目前為止，我們只動用了它的利息，林順發先生承諾繼續捐款至2020年。順便說一下，我們在2018年為7名中國大陸學生提供了T.T. Moh獎學金。
